Численные методы

2008-2009, 2 семестр, 2 курс

Был и такой у меня грех, но всего один раз. А жаль — это был любимый мой курс. Предполагается наличие начальных знаний по MATLAB.

Программа

1. Понятие о численных методах решения математических задач. Методы сортировки. Характеристики методов сортировки (скорость выполнения, использование памяти). Сортировка в MATLAB.
2. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений для случая одной переменной. Отделение корней. Графический метод. Уточнение значения корня.
3. Метод половинного деления (бисекции). Метод Ньютона. Метод простой итерации. Функции в MATLAB.
4. Введение в теорию векторов и матриц. Вектор и его координатное представление. Матрица преобразования координат. Умножение матриц.
5. Решение систем линейных уравнений. Графическая интерпретация решений. Метод Гаусса. Итерационный метод Якоби. Функции в MATLAB.
6. Интерполяция и приближение полиномами. Линейная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Формула Ньютона. Сплайн-интерполяция. Функции в MATLAB.
7. Аппроксимация. Подбор эмпирических формул. Метод наименьших квадратов. Функции в MATLAB.
8. Приближенное интегрирование и дифференцирование. Приближенное вычисление интегралов с помощью рядов Тейлора. Методы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Улучшение Ричардсона.
9. Контрольная работа.
10. Контрольная работа.
11. Метод Монте-Карло (вычисление интегралов, решение уравнений, аппроксимация функций полиномами).
12. Численная оптимизация в одномерном случае. Основные определения (оптимизация, задача оптимизации, целевая функция, проектные параметры). Метод вычисления экстремумов дифференцируемых функций. Приближенные методы (перебора, деление пополам, «золотого сечения»). Связь с вычислением корней (метод Ньютона). Функции в MATLAB (max, min, fminbnd).
13. Численная оптимизация в многомерном случае. Классификация методов многомерной оптимизации. Метод Ньютона. Метод покоординатного спуска. Градиентные методы.
14. Симплексный метод Нелдера-Мида. Функции в MATLAB. Локальные и глобальные минимумы. Мультистарт. Методы случайного поиска. Штрафные функции.
15. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Поле направлений. Начальные условия. Задача Коши. Понятие о численном интегрировании (решении) ДУ. Метод Эйлера и его модификации.
16. Метод рядов Тейлора. Методы Рунге-Кутты. Функции MATLAB для решения ДУ.
17. Многошаговые методы. Прогноз и коррекция. Проблемы применения численных методов («жесткие» системы, большие интервалы). Краевые задачи. Методы решения краевых задач (метод стрельбы).
18. Краевые задачи (продолжение). Подведение итогов курса. Подготовка к контрольной работе.
19. Контрольная работа.
20. Контрольная работа.

Литература

Основная

• Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. – М.: Физматлит, 2003 – 304 с.
• Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 с.
• Колдаев В. Д. Численные методы и программирование. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009 – 336 с.
• Амосов А. А. и др. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высшая школа, 1994. — 544 с.
• Мэтьюз Дж. Г., Финк К. Д. Численные методы. Использование MATLAB. — М.: «Вильямс», 2001. — 720 с. Здесь и у Киусалааса есть m-файлы примеров.
• Kiusalaas J. Numerical Methods in Engineering with MATLAB — CUP, 2005 — 426 p. Более сжатый, чем Мэтьюз и Финк.
• Moler C. Numerical Computing with MATLAB. — 2005 — 354 p.

Дополнительная

• Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе — М.: Мир, 1977. — 584 с. «Древнее золото редко блестит…» Классика, однако.
• Чен К., Джиблин П., Ирвинг А. MATLAB в математических исследованиях. — М.: Мир, 2001. — 346 с. Вместе с книгой идут m-файлы примеров.
• Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. В 2-х частях. Параллельно обучаемся физике и программированию. Языки: Basic, Pascal, Fortran. Есть более свежие редакции книги, опирающиеся на Java.
• Берд Д. Инженерная математика. — М.: Додэка-XXI, 2008. — 544 с. Если вы что-то забыли из математики: сборник полезных формул.